Chaîne linéaire à deux types d'atomes

Commentaires :
 Une chaîne linéaire illimitée est constituée d'atomes de masse m1 aux positions paires et d'atomes de masse m2 < m1 aux positions impaires , séparés à l'équilibre par la distance a. Une perturbation longitudinale modifie de Un << a la position de l'atome n.
On modélise les interactions entre les atomes par une force de rappel (équivalente à un ressort de raideur K) limitées aux premiers voisins.
Comme pour la chaîne constituée d'atomes identiques, la relation fondamentale de la dynamique appliquée aux atomes 2n et 2n+1 donne :
m1d2U2n/dt2 = K(U2n+1 - 2U2n + U2n-1) (1)
m2d2U2n+1/dt2 = K(U2n+2 - 2U2n+1 + U2n) (2)
Comme la chaîne est illimitée, il n'y a pas de conditions aux limites. Une onde progressive sinusoïdale se propage dans le milieu.
U2n = U1.cos(kx2n -wt). et
U2n+1 = U2.cos(kx2n+1 -wt).
En posant M = m1.m2/(m1 + m2), on tire :
w4 -2Kw2/M + 4K2sin2(ka)/m1.m2 = 0.
La relation de dispersion s'écrit : w2+ = K/M.(1 + D½) et w2- = K/M.(1 - D½) avec D = (1 - 4M2sin2(ka)/m1.m2)
Pour w- , on obtient une relation du même type que pour la chaîne constituée d'atomes identiques avec un pas égal à 2a et non plus a. C'est le mode acoustique (faibles fréquences) qui correspond à une pulsation maximale w1= (2K/m1)½.
Pour w+ , on obtient une fonction décroissante avec k.
C'est le mode optique (hautes fréquences) qui correspond à des pulsations comprises entre w2= (2K/m2)½ et wM= (2K/M)½.
La bande comprise entre w1 et w2 est interdite. Il n'y a pas de propagation pour des pulsations comprises entre w1 et w2 ou supérieures à wM . Une telle onde est réfléchie par la chaîne sans y pénétrer.

L'applet :
 Le curseur vert permet de faire varier le nombre d'onde k entre 0 et p/2a.
Noter que pour m2/m1 = 1 (chaîne d'atomes identiques), on obtient la courbe de dispersion w = 2(K/m)½|sin(ka/2)| repliée car dans ce cas,  la zone de Brillouin s'étend entre -p/a et +p/a et non pas entre -p/2a et +p/2a.

Retour au menu.