Paquet d'ondes
gaussien
Commentaires :
Le paquet d'ondes est constitué par la superposition d'ondes de longueurs d'onde
différentes centrées sur une valeur particulière de l =
l0. Le "paquet" est la région de l'espace où ces
ondes interfèrent de manière constructive.
On peut écrire la phase d'une
onde sinusoïdale sous la forme j(k) = k.x - w(k).t.
Si la phase ne change pas trop dans le domaine
de variation de k autour de k0, il y a interférence constructive
pour les valeurs de x et t qui rendent la phase constante (i.e pour dj(h)/dk
= 0 donc pour x = t.dw(k)/dk. Cette perturbation
se déplace à la vitesse x/t = Vg = dw(k)/dk
que l'on nomme vitesse de groupe. La célérité c d'une onde unique de
vecteur d'onde k est c = Vp = w/k
(vitesse de phase).
Quand la vitesse de groupe n'est pas constante,
il y a dispersion.
Dans cette page, on étudie numériquement le
paquet d'onde gaussien.
(consulter cette page pour avoir les équations et la méthode utilisées.)
Contrairement
au paquet d'onde formé par la superposition d'ondes de
même amplitude, dans le paquet d'onde gaussien, l'amplitude de l'onde sinusoïdale
est d'autant plus petite que le vecteur d'onde k est différent de k0.
L'applet :
Les cases à cocher
permettent de choisir la largeur du paquet d'onde et la nature de la fonction
w(k).
En cliquant sur le bouton droit de la souris,
on peut geler l'animation. Le relâchement du bouton relance l'animation.
Le
système de coordonnées réduites choisi permet de mettre en évidence l'élargissement
du paquet d'onde dans les milieux dispersifs. Quand la pulsation est proportionnelle
au carré du vecteur d'onde, les composantes à petites longueur d'onde se déplacent
plus vite que celles de grande longueur d'onde. On a la situation inverse quand
la pulsation est proportionnelle à la racine du vecteur d'onde. L'effet est
plus visible avec le paquet d'onde de petite largeur.
Remarque
: certains navigateurs sont incapables de reproduire certains caractères dans
les applets. Les deux derniers labels sont w(k) = A.k.k et w(k) = A.k½
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