Potentiel périodique
Commentaires :
On considère N atomes qui forment un cristal à une dimension. Les charges
des noyaux forment un potentiel périodique : pour s'écarter d'un noyau,
les électrons doivent vaincre un potentiel de hauteur V. Chaque noyau est
au centre d'un puits de potentiel de largeur a bordé par deux barrières
de potentiel de hauteur V et de largeur b.
On pose l = a +
b et k le nombre d'onde de la fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger.
Soient E l'énergie de l'électron et m sa masse.
On pose q2 =
2mE/h2 et p2 = 2m(V - E)/h2
On
démontre que :
cos(kl) = cos(qa)ch(pb)+½(p/q-q/p)sin(qa)sh(pb)
= Y(E).
Les seules valeurs possibles de l'énergie E sont celles qui font
que le cosinus du produit kl est compris entre +1 et -1. Les valeurs possibles
de l'énergie forment des bandes permises séparées par des bandes interdites.
Les valeurs limites de l'énergie de chaque bande sont déterminées en déterminant
numériquement les valeurs de E pour lesquelles on a Y(E) = ±1.
L'applet :
Les zones
de texte permettent de modifier la valeur de la distance a entre les puits
et leur largeur b. ). La valeur de V est fixée à 5 unités. Les unités sont arbitraires (2mh2 = 1).
La courbe en rouge représente la fonction Y(E). Les
traits jaunes correspondent aux valeurs limites de cos(k.l). Les bandes permises
sont tracées en gris foncé.
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