Voltmètre électrostatique

Principe :
 On considère un appareil très simplifié constitué par deux secteurs circulaires isolés et centrés sur le même axe. Le plateau inférieur est fixe et il porté à un potentiel nul (V2 = 0). Le plateau supérieur est mobile autour d'un axe vertical et il est porté au potentiel V1. Sa position d'équilibre est imposée par un ressort spiral. Une aiguille fixée à ce plateau permet de mesurer sa rotation.
Données utilisées dans l'exemple étudié : Rayon des secteurs R = 8 cm. Distance entre les plateaux e = 5 mm.
Constante de torsion du ressort C = 2.10-5 J/Rd.
Soit q l'angle de recouvrement des deux plaques. Elles forment un condensateur. Si l'on néglige les effets de bord, sa capacité est donnée par C = e0.S/e = e0.R2q/2e. Les effets de bord (champ électrique non uniforme et non perpendiculaire aux armatures se manifestent sur les côtés de chaque secteur. Ils sont maximum quand le recouvrement est faible ou grand.
 Quand on applique une différence de potentiel entre les deux armatures, le recouvrement tend à augmenter et le plateau supérieur tourne d'un angle a. Les forces électrostatiques qui s'exercent sur un condensateur ont toujours pour effet d'augmenter sa capacité.
Condition d'équilibre :
A l'équilibre, le moment des forces électrostatiques G est égal au couple de rappel du ressort Ca.
Si on fait tourner le plateau de da, l'énergie potentielle électrostatique du condensateur varie de dWpot. Cette variation est compensée par le travail des forces extérieures (énergie fournie par le générateur et travail du couple de rappel du ressort). Soient Q1 et Q2 les charges portées par les armatures et U = V1 - V2 = V1.
dWpot = d(½.Q1.V1 + ½.Q2.V2) = ½.dQ1.U
dWext = dQ1.U - C.a.da.
On tire que ½.dQ1.U = C.a.da.
Si l'on néglige les effets de bord, Q1 = C.U. A l'équilibre, on peut écrire : a = e0.R2.U2 /4e = K.U2. La rotation du plateau est fonction du carré de la tension appliquée.
Avantages : Assez simple à construire. Robuste. Consommation très faible (charge du condensateur).
Inconvénients : Très peu sensible pour les faibles tensions (échelle quadratique) et les fortes tensions (quand le recouvrement est total, il n'y a plus de couple électrostatique). A cause des effets de bord, il faut réaliser en fait un étalonnage individuel.

L'applet :
En glissant le curseur vert avec la souris, on fait varier la tension appliquée sur le plateau supérieur entre 0 et 3 kV. Pour  cette gamme de tensions, on peut considérer que la loi en U2 est valide.
Toujours pour limiter les effets de bord, pour une tension nulle, le recouvrement est pris égal à 30°.
La représentation est très simplifiée. Il manque en particulier le contrepoids du plateau mobile.

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