Principe de la mesure :
La détermination du moment d'inertie d'un solide autour
d'un axe n'est pas toujours possible par une méthode géométrique (forme
complexe, solide non homogène ...).
Cette valeur peut être déterminée expérimentalement
par la méthode des oscillations et de la surcharge inventée par Gauss.
Un
fil de torsion de constante C passant par cet axe est fixé au solide et
on fait osciller le pendule de torsion ainsi réalisé.
Soit I1 le moment d'inertie cherché. Si on néglige les frottements,
l'équation différentielle du mouvement est donc :
I1.d2q/dt2 + Cq = 0.
On obtient un oscillateur harmonique dont on
mesure la période d'oscillation
T1 = 2.p.(I1 / C)½.
On
fixe ensuite symétriquement sur le solide étudié deux cylindres identiques de masse m et
de rayon R à la distance L de l'axe de rotation.
Le moment d'inertie de
chaque cylindre est : ½.m.R2.
Le moment d'inertie de
l'ensemble est donc I2 = I1 + I0 =
I1 + 2.m.L2 + 2.(½.m.R2)
La période d'oscillation
devient alors T2 = 2.p.(I2 / C)½.
Du rapport des carrés des deux périodes on déduit alors I1 = I0.T12 / (T22 - T12)
En général le terme 2.(½.m.R2) peut être négligé devant le terme 2.m L2.
L'Applet
:
Les boutons radios permettent de sélectionner soit
l'objet seul ( périodes T1
) soit l'objet avec les surcharges ( période T2 ).
Un click sur le bouton [Départ]
remet à zéro et lance le chronomètre, un click sur le bouton [Arrêt]
l'arrête.
Pour chaque configuration, mesurer la durée de 20 périodes d'oscillation.
En déduire T1 et T2 puis la valeur de I1.
Faire
un calcul d'erreur. L'incertitude sur I0 pourra être négligée. Attention
car la valeur de T1 intervient au numérateur et au dénominateur.
Valeurs
utilisées :
Comme objet, on prend un barreau d'acier de 16 x 2,2
x 2,2 cm dont la masse M est 590 g.
Les surcharges sont des cylindres de masse
m = 120.0 g , de rayon 1,20 cm. L'axe de chaque surcharge est situé à 7,0 cm
de l'axe d'oscillation.
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