Vitesse limite
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On considère une bille en acier de masse volumique r
= 7,9 g/cm3 et de rayon R. On laisse tomber (sans vitesse initiale)
cette bille dans une tube rempli de glycérine (masse volumique m =
1,24 g/cm3 et viscosité h = 10 poises
à température ambiante).
La dimension d'une viscosité est M. L-1. T
-1.
La poise correspond à 1 gramme.seconde-1.centimètre-1;
L'unité
légale de viscosité est le poiseuille ou Pa.s .
La bille est soumise à son
poids P, à la poussée d'Archimède Pa et à la force de freinage exercée par la
glycérine sur la bille. Cette force est donnée par la relation de Stockes.
Si l'on considère un axe vertical Oz orienté vers le bas cette force s'écrit
: FZ = - 6phRdz/dt.
Le principe de
la dynamique donne :
Md2z/dt2 = Mg - Mgm/r
- 6phRdz/dt
En divisant par la masse, on obtient
:
d2z/dt2
= g (1- m/r) - 9h/(2R2r).dz/dt.
Quand la vitesse augmente, le terme de frottement
croît : la valeur de la vitesse tend vers une valeur limite.
L'équation différentielle du mouvement
est intégrée numériquement ce qui permet de tracer les courbes z(t) et Vz(t).
Plus
le rayon de la bille est petit et plus la vitesse limite est atteinte rapidement.
Remarque
: la valeur de h décroît fortement quand la
température augmente.
L'applet :
La zone de texte permet
de modifier le rayon de la bille. La courbe en jaune correspond à la hauteur
de chute. Celle en rouge à la valeur de la vitesse.
Un "click" sur le bouton droit de la souris permet de
figer l'animation.
Exercice : calculez la valeur de la vitesse limite
(attention aux unités !).
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