Aberrations chromatiques

Rappels :

La distance focale d'une lentille mince d'indice n et dont les faces ont pour rayons R1 et R2 est donnée par la relation 1/F' = (n - 1)(1/R1 - 1/R2). La vergence est donc V = k.(n - 1)
Comme l'indice est fonction (non linéaire) de la longueur d'onde, la distance focale varie avec la couleur de la lumière. Une lentille est entachée d'aberration chromatique longitudinale que l'on peut évaluer par dF'/F' = -dn/(n - 1). Cette aberration est fonction du matériau constituant la lentille et ne peut être diminuée en diaphragmant celle-ci.
Il existe aussi une aberration transversale (voir l'applet) proportionnelle à l'ouverture de la lentille.
Pour définir le pouvoir dispersif d'un verre, on mesure l'indice pour trois radiations caractéristiques : raie D de l'hélium 587,6 nm, raie C de l'hydrogène 656,3 nm et raie F de l'hydrogène (486,1 nm). On définit la constringence ou nombre d'Abbe A par le rapport
A = (nD - 1)/(nF - nC).
Il existe deux familles de verres les "crown" avec n de l'ordre de 1,52 et A voisin de 60 et les "flint" avec n de l'ordre de 1,63 et A voisin de 35.
 Correction des aberrations.
On peut effectuer une très bonne correction en utilisant deux lentilles minces accolées.
La vergence de l'ensemble est V = V1 + V2 = k1.(n1 - 1) + k2.(n2 - 1)
La variation de vergence pour les raies F et C est donc dV = k1.(n1F - n1C) + k2.(n2F - n2C). De plus les vergences moyennes sont : V1D = k1.(n1D -1) et V2D = k2.(n2D -1).
 Donc dV = V1D.(n1F - n1C)/(n2D-1) + V2D.(n2F - n2C)/(n2D -1). En introduisant les constringences, il vient : dV = V1D/A1 + V2D/A2.
Les distances focales pour les raies C et F seront identiques si V1D/A1 + V2D/A2 = 0.
Les deux lentilles doivent être faites avec des verres différents et être de natures différentes.
De V = V1 + V2 et de V1D/A1 + V2D/A2 = 0, on tire : V1D = VD.A1/(A1 - A2) et V2D = -VD.A2/(A1 - A2).
Exercice : Déterminer les lentilles à utiliser pour fabriquer un achromat convergent de 20 cm de distance focale en utilisant les verres dont les caractéristiques sont données dans le tableau :

Radiation

 C

 D

 F

l (nm)

 656,3

 587,6

 486,1

crown

 1,5153

 1,5179

 1,5241

flint

 1,6182

 1,6231

 1,6355

Réponse : Lentille convergente en crown de focale 7,8 cm et lentille divergente en flint de focale -12,8 cm.
Remarque : On peut aussi fabriquer des achromats en utilisant un doublet. L'épaisseur du doublet introduit une variable supplémentaire qui permet d'utiliser des lentilles de même nature et de même matériau. On peut montrer que l'oculaire de Huygens est achromatique. (Pour deux verres de même nature, la condition d'achromatisme est 2.e = F'1 + F'2)

L'applet :
Trois zones de texte permettent de modifier les valeur des indices pour les raies C, D et F. Pour observer un phénomène visible, il faut s'écarter des valeurs réelles.
Deux boutons permettent de modifier la taille du diaphragme.
Vérifier que l'ouverture du diaphragme n'a aucune influence sur l'aberration longitudinale mais qu'elle agit sur l'aberration transversale.

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